作曲をしたり、ビートを作ったりする人なら、リズム部門にスパイスを加えるにはどうしたらいいか自問したことがあるだろう。その答えは？

数学だ。

より具体的には、ユークリッド・アルゴリズムと呼ばれる、ユークリッドのリズムを作り出す小さな道具だ。

ユークリッド・リズムは、パーカッシブでメロディックなパターンに興味を持たせる素晴らしい方法であり、エレクトロニック・ミュージックや実験音楽の多くの形態でますます使われるようになっている。

音楽における数学的なつながりについてもっと知りたいという熱い思いをお持ちの方も、クリエイティブなヒントを得たいという方も、私たちにお任せください。

まずは過去から...。

ユークリッド・アルゴリズムの歴史

ユークリッドのリズムのルーツは紀元前300年頃、ユークリッドという名のチャッピーにある。

ユークリッド（発音はユークリッド）は古代ギリシャの一流の数学者だった。彼は、現在の現代幾何学を構成する多くの断片を西洋世界に与えたが、その要素のひとつが、クールなリズムを作るためのバックボーンとなっている。

ユークリッドのアルゴリズムとは、2つの数（数学用語で言うなら整数）の最大公約数（GCD）を求める方法である。GCDは2つの整数を余りなく割る最大の数である。

数千年前、エリック・ビョークランドという科学者が核破砕中性子源粒子加速器の研究をしていた。彼は、一定の時間内に一定回数開くゲートを必要としていた。さらに、このゲートが開く間隔をできるだけ均等にする必要があった。

彼の解決策は、必要なタイミングを与えるアルゴリズムだった。

それが音楽とどう関係があるのか？

数年後、ゴッドフリード・トゥーサンというカナダのコンピューター科学者が、ビョークランドのアルゴリズムがユークリッドのアルゴリズムと非常によく似た働きをすることを示した。さらに彼は、このアルゴリズムを音楽の文脈で再構築すると、ワールドミュージックの多様なスタイルに見られる種類のリズムを生み出すことができることを示した。

こうしてユークリッドのリズムが生まれた。

ユークリッド・リズム」という用語はかなり新しいものだが、この用語が示すリズム（そしてユークリッド・アルゴリズムを使用したときに生成されるリズム）は、何千年も前から存在していたことに注意する必要がある。誰かが遅れてやってきて、ラベルを貼り付け、そして今、私たちはそのパーティーの自分たちのバージョンを再現することができるのだ。

ユークリッドリズムとは何か？

ユークリッド・リズムは、決められた拍数を特定の時間間隔にできるだけ均等に配分することで生成される。出来上がったパターンは複雑で面白く聞こえるが、すべてアルゴリズムによって生成されたものだ。

これらのリズムは、様々なジャンルの音楽で使われており、euclidのアルゴリズムによって生成されたパターンは、作品に深みと多様性を加えたい作曲家やビートメイカーにとって貴重なリソースとなる。特に実験的なアンビエント・アーティストは、このテクニックを使ってサウンドの幅を広げている。

複雑な数学を使っているので（少なくとも私には複雑に見える）、本当に単純なドラム・パターン（古典的な「フォー・オン・ザ・フロア」）をユークリッド・リズムの観点から説明してみよう。

この例では、4つのキック・ドラム・ヒットが16の可能なポジション（4分の4拍子を16分音符に分割した1小節）に等間隔で配置されています：

X. . .X. . .X. . .X. . .

このパターンでは、"X "はキックドラムのヒットを表し、". "は無音、つまり空の時間間隔を表す。ユークリッドアルゴリズムでは、これは(4, 16)と表現され、ここで4はヒット数、16はパターンの総ステップ数である。

乱暴に単純化しすぎているが、ユークリッド・リズムがいくつかのイベント、つまりパルス（H）を受け取り、それらを与えられた時間（T）にできるだけ均等に配分するという考え方を理解するのに役立つだろう。ユークリッド・リズムは常に(H, T)で表される。

別の例を見てみよう。今回は6パルスを16ステップ、つまり(6, 16)に分けている：

X. .X.X. .X. .X.X. .

そして、こんな感じだ：

もう少しスパイシーでしょう？でも、何度も聞いたことがあるような話でもある。

先に述べたように、ユークリッドパターン自体は必ずしも新しいものではなく、ワールドミュージックやジャズなどで耳にする伝統的な音楽のリズムによく見られるものだ。しかし、それを作り出すために使われるテクニックは新しい。

ユークリッド・リズムを理解する

ここで重い数学の話に入る！でも、私のような人のために簡単に説明しよう。

ユークリッド・リズムを計算するには、まずステップの総数(T)を表す1と0のリストから始めます。はパルス、オンセット、またはビート（H）を表し、0は静寂を表します。

最初の例、つまり4オンザフロア（H=4T=16）を例にとると、まずこうなる：

1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

ここから、最後の4つの0を移動させ、このように1と隣接させる：

[10], [10], [10], [10],0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

最後に斜体で書かれた0が余りであり、私たちの目標は、括弧で囲まれたセットが一致するように保ちながら、できるだけ多くの余りに1を付けることである。余りが1つになるか、余りがなくなったら終了だ。次のステップは、最後の4つの0を移動させ、前方の括弧で囲まれた部分集合に加えることである：

[100], [100], [100], [100],0, 0, 0, 0

そして、これをもう一度：

[1000], [1000], [1000], [1000]

余りがないので、計算は終了である。括弧を取り除くと、最終的な数列が見やすくなる：

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

同じシークエンスをもっと身近な場面で見てみよう：

最後に、ヒットをシングルビートではなく、持続時間にしたい場合は、各1の間のパルス数を単純に加算する：

4, 4, 4, 4

よし、同じことをもう少し複雑な(6, 16)リズムでやってみよう。これが最初のリストで、ヒット（H - 1s）とシーケンス全体の長さ（T）を表しています：

1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

最後のゼロをヒット(H)に移す：

[10], [10], [10], [10], [10], [10],0, 0, 0, 0

余った部分（斜体）を移動させる：

[100], [100], [100], [100],[10], [10]

そしてまた：

[10010], [10010],[100], [100]

最後にもう一度：

[10010100], [10010100]

それで終わりだ！

1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0

そして、音符の長さを求めるなら、3、2、3、3、2、3となり、各数値はシーケンスの最小分割のx倍を表す（この場合は16分音符）。つまり、この音列は付点音符と通常の8分音符の組み合わせということになる。

これらはユークリッド・リズムの概念を説明するための非常に単純な例であることは言うまでもない。その前に、ちょっと回り道をしてみよう。

ローテーション・ステーション

これまで、ユークリッド・リズムにおける2つの異なるパラメータ、ヒット数（H）とステップ数（T）について見てきました。シーケンスの演奏方法を大きく変えることができる3つ目の値があります：回転です。

上記の例では、各リズムの最初のステップは各小節の 下 拍にある。パターンを回転（オフセット）させることで、同じ(H, T)値でもより複雑な響きのリズムを作り出すことができる。

先ほどの(6, 16)の例で、シークエンスを "回転 "させ、ダウンビートのヒットが実際にはシークエンスの2番目のヒットとなるようにします：

1 0 0 0 1 00 1 0 0 1 0 0 1 0 0 100 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0

あるいは

3, 2, 3, 3, 2, 3,となる2, 3, 3, 2, 3, 3, 3

ローテーションは、同じHとTのパラメーターから興味深いリズムのバリエーションを生み出す素晴らしいテクニックだ。

クールなのは、同じシーケンスをレイヤーして、レイヤーごとに回転を変えてポリリズムを作れることだ。

下の例では、同じ(6, 16)リズムを、利用可能なすべてのオフセットを使って3回重ねている：

A)3, 2, 3, 3, 2, 3

B)2, 3, 3, 2, 3, 3

C)3, 3, 2, 3, 3, 2

これらの複雑なリズムを規則的なビートに合わせることで、全体的なアイディアの土台を作ることができる：

ユークリッド・リズム - 次のレベルへ

私たちは、4分の4拍子の標準的な小節を16分音符で細分化した、ごく基本的な拍子を見てきた。

また、3/4や6/8でユークリッド・リズムを作ったり、パターンのタイミングに影響を与えるためにさまざまなサブディビジョンを使うこともできる。

しかし、異なる(H, T)パラメーターを使用して複数のシーケンスを生成すると、結果として得られるリズムが重なり合い、複雑で興味深いタペストリーが出来上がります。各シーケンスに異なる(T)レングスを使用するということは、実質的に複数の拍子記号を同時に扱うということであり、ループはパスごとに互いに異なる相互作用をします。

スネアが(6, 16)パターンを演奏し、シンセが(7, 11)パターンを演奏している例だ：

キックドラムを加えることで、規則的なパルスを確立することができる：

これはすべて楽しいことで、トラックに使う実に魅力的なアイデアを生み出すことができる。しかし、ユークリッド・リズムをすべて把握するために上記のような長大な方法を使うと、頭を痛めることになりかねない。

幸いなことに、それを助けるソフトウェアがある。

ユークリッド・シーケンサー

ユークリッド・リズムの人気が高まるにつれて、より多くの開発者がこの流れに乗るだろう。

最も基本的なレベルは、ブラウザベースのユークリッドリズムジェネレーターです。希望するヒット数、または音符数、そしてトータル・タイム・ウィンドウを入力すると、その結果をMIDIプレイバックとともに、シーケンスを示す画像を生成してくれる。

音は良くないが、ユークリッド・リズムを視覚化する簡単な方法だ。見たものを手動でDAWに取り込むだけだ。

あなたがAbleton Liveユーザーなら、PolyrhythmusはMax for Liveモジュールとして利用できる素晴らしいユークリッドシーケンサーです。メロディーやアルペジオのようなピッチベースの素材だけでなく、リズムの生成にも使用できます。

Ableton以外のプロデューサーには、ユークリッドシーケンサーエンジンを搭載したHY-RPE2があり、ユークリッドリズムをMIDIでフルコントロールできる。開発者は、購入前にデモを試してみることを勧めている。

最後に、ADSRはあなたのユークリッドの旅を手助けするリーズナブルな価格のOrbitを用意している。どんなシンセでもMIDIプラグインとして動作するシーケンサーで、30日間の無料トライアルが付いている。

結論

ここまでで、ユークリッド・リズムのコンセプトはご理解いただけたと思います。音楽と幾何学の数学的なつながりを垣間見ることは常に魅力的ですが、より実用的なレベルでは、ユークリッドリズムはあなたの創造的なプロセスを刺激し、あなたの音楽を新しい方向へと導いてくれるでしょう。

すべてを手作業でやるにせよ、使って楽しいシーケンサーを見つけるにせよ、これらのテクニックを使って練習すればするほど、より簡単になる。

実験して、遊んで、楽しんで。プロセスや数学の純粋さにこだわりすぎてはいけない。良い音かどうかを判断するのは、アルゴリズムではなく、あなたの耳を使ってください。

さあ、ユークリッドの音楽を聴きに行こう！